Técnicas de conteo
Principio aditivo
Si
se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser
realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas
y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N +…+ W maneras o formas
vana
cigarroa. (2012). principio aditivo. 17 septiembre 2012, de SlideShare Sitio
web: https://es.slideshare.net/vanacigarroa/principio-aditivo
Principio multiplicativo
Si se desea realizar una actividad
que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede
ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o
formas y el r-ésimo paso de N
R maneras o formas, entonces esta actividad
puede ser llevada a efecto de;
N 1x N 2x…x
N r maneras o formas
El principio multiplicativo implica
que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras
otro.
rosa enriquez. (2014). probabilidad y estadistica. 23
de febreero 2014, de SlideShare Sitio web:
https://es.slideshare.net/RozytaBob/combinacin-permutacin-principio-aditivo-y-principio-multiplicativo
Notación
Factorial
José A .Jiménez Murillo (1994) señala que:
Combinación es todo arreglo de elementos que se seleccionan
de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los
elementos en el arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado es el
primero, el de en medio o el que está al final del arreglo. El número de
combinaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, se encuentra dado por
la expresión: n!
r!(n-r)!”(Pag.56)
De acuerdo a (J .Susan Milton,Jesse C.Arnold 2004) nos dice
que:
Sea n un numero entero positivo se llama n factorial
al producto n(n-1) (n-2)...3, 2,1y se denota como n! cero factorial, que se
denota como 0! Es por definición 1” (Pag. 12)
Según (Seymour Lipschutz 1992”)
se usa la notación n1,lease “n factorial ”,para denotar el
producto de los enteros positivos de 1 a inclusive:
n!=1,2,3…(n-2)(n-1) n equivalente, se define n! por 1!=1 y n!=n(n-1) también es
conveniente definir 0!=1”(Pag.257)
Gálvez, J (27 de septiembre 2015).
Probabilidad y Estadística. [Blog].Recuperado de
http://joseluisgalvez3a.blogspot.mx/2015/09/notacion-factorial.html
Permutaciones
Para entender lo que son las permutaciones es necesario
definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer
su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar
una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer
cuantificar los elementos de algún evento.
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar
o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para obtener las fórmulas de permutaciones y combinaciones
tenemos que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en
las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.
La fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n
objetos es:
Donde n=objetos y r=posiciones
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos
en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con
que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos
dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta
n.
n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n
Ramón, J (26 de mayo 2012).
Probabilidad y Estadística. [Blog]. Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/05/14-permutaciones.html
Combinaciones
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o
posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Como ya se mencionó anteriormente, una
combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los
mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el
contenido de los mismos.
La fórmula para determinar el número de
combinaciones es:
Cr= Combinaciones de
r objetos tomados de entre n objetos
Ejemplo 1: ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a
partir de 9 jugadores disponibles?
Solución: Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de
voleibol, por lo que, en este caso se tiene que.
n = 9
r = 6
de manera que
Ramón, J (27 de mayo 2012).
Probabilidad y Estadística. [Blog]. Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/05/14-permutaciones.html
Diagrama
de Árbol
Un
diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar todas las
posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes.
El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción a
efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes se pueda
realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros nodos, que
representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas
ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse esa segunda acción,
considerando la manera en que se realiza la primera. Y así, sucesivamente.
Ejemplo:
El
mes anterior, la asociación nacional de administradores de salas
cinematográficas realizo una encuesta entre 500 adultos seleccionados al azar.
La encuesta preguntaba a las personas su edad y el número de veces que habían
visto una película en un cine. Los resultados se resumen en la siguiente tabla.
|
Películas por
mes
|
Menos de 30
B1
|
30 hasta 60
B2
|
60 o mas
B3
|
|
0 A1
|
15
|
50
|
10
|
|
1 o 2 A2
|
25
|
100
|
75
|
|
3, 4 o 5 A3
|
55
|
60
|
60
|
|
6 o más A4
|
5
|
15
|
30
|
|
Total
|
100
|
225
|
175
|
Pablo
Ruiz Aguilar. (2013). probabilidad y estadística diagramas de árbol. 20 marzo
2013, de SlideShare Sitio web: https://es.slideshare.net/pabloruizaguilar1/probabilidad-y-estadistica-diagramas-de-arbol
Valenzuela,
C (23 de junio 2011). Técnicas de conteo. [Blog]. Recuperado de: http://proba17.blogspot.mx/2011/06/diagrama-de-arbol-probabilidad.html
Teorema
del binomio
El teorema del binomio, también llamado binomio de
Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un
polinomio. El desarrollo del binomio ( a + b)^n posee singular
importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee
diversas
aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO
Sea un binomio de la forma (a +b).
Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si
mismo se obtienen las siguientes potencias:
De lo anterior, se aprecia que:
a) El desarrollo de (a + b)^n tiene n +1
términos.
b) Las potencias de a empiezan con n en el
primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el
último.
c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en
el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta n
en el último.
d) Para cada término la suma de los exponentes de a y
b es n.
e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo
es n.
f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al
producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a
dividido entre el número que indica el orden de ese término.
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen
coeficientes iguales.
Ramón,
J (27 de mayo 2012). Probabilidad y Estadística. [Blog].Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/05/17-teorema-del-binomio.html
Diaz,
A (26 septiembre 2009). Estadistica. [Blog]. Recuperado de: http://aurasantd.blogspot.mx/2009/09/teorema-de-binomio-de-newton.html
Teoría
elemental de la probabilidad
El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos
experimentos que se denominan aleatorios, cuya característica fundamental es la
incertidumbre del resultado, esto significa que es imposible predecir los
resultados porque hay más de uno posible.
Son ejemplos de experimentos aleatorios: lanzar un dado
cinco veces, los instantes de llegadas a un abarrote, etc.
El término de probabilidad es de uso común, así el ente
televisivo, el cual nos dirá que es poco probable un cambio brusco de
temperatura ó un periódico informará que es muy probable que el Real Madrid
gane en su campo a Las Palmas.
Este tipo de información es insuficiente cuando se necesita
un conocimiento más profundo de un fenómeno aleatorio, Supongamos que una
compañía de seguros va a extender una póliza por seguro de vida a un
cliente.
Este es el objetivo del Cálculo de Probabilidades, medir
probabilidades relacionadas con cierto fenómeno aleatorio dado. Medir significa
asignar a cada probabilidad un número determinado, esto nos permitiría obtener
un conocimiento más preciso del fenómeno.
*Concepto Clásico De Probabilidad*
También conocido como probabilidad a priori. “Si para un
evento A hay n resultados igualmente
probables, de las cuales f son del tipo que nos interesa, la
probabilidad de que ocurra un resultado de este tipo es:
P(a)=f / n
Ramón,
J (27 de mayo 2012). Probabilidad y Estadística. [Blog].Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/05/21-teoria-elemental-de-probabilidad.html
ITCM. (2010).
teoría elemental de la probabilidad. 15 de abril 2010, de SlideShare Sitio web:
https://es.slideshare.net/neneantrox/21-teoria-elemental-de-la-probabilidad
Probabilidad
de eventos
Definición de Espacio muestral (E): es el
conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento
aleatorio o cuando se
realiza un experimento, que es cualquier proceso que
produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de
valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio
muestral.
Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el
espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.
Experimento {Lanzar un dado},
E={1,2,3,4,5,6}
Experimento {Lanzar una moneda},
E={Cara, Cruz}
*Definición de evento o sucesos**
La probabilidad
clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se
define como el número de eventos elementales que componen al evento E,
entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:
Cuando se tiene un espacio muestral
llamamos, formalmente evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio
muestral.
Decimos que un suceso se realiza, cuando
el resultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles.
Se llama evento o
suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio
muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son
eventos:
1. Obtener un número
primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número
primo y par B = {2}
3. Obtener un número
mayor o igual a 5 C = {5, 6}
*Simbología, uniones e
intersecciones.**
1. A, B, C…=conjuntos.
2.
a ,b ,c…=elementos de conjuntos
3.
U=unión de conjuntos
4.
∩=intersección de conjuntos
5.
A‟= complemento de un conjunto
6.
/ =dado que
7.
\ diferencia
8.
<>=diferente de
9.
( )=Conjunto nulo o vacio
10.
R= conjunto de los números reales
11.
N= conjunto de los números naturales
12.
C= conjunto de los números complejos
13.
n!= factorial de un numero entero positivo
14.
Q= conjunto de los números fraccionarios
15.
I= conjunto de los números irracionales
16.
c= subconjuntos { }= llaves. Conjuntos vacíos Si A y B son dos subconjuntos de
un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro
subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A U B. Los
elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de
A y B, escrito A& cap. B.
Si
A y B no tienen ningún elemento común se denominan conjuntos disjuntos ya
que su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar
esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y
se representa con el símbolo Ø. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8,
10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A U B = {2, 4, 6, 8, 10}, A U C = {2, 4,
6, 10,14,
16,
26}, A ∩ B = {4, 6} y A ∩ C = Ø.
*Diagrama
de venn**
Los
Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos
matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante
realiza una serie de operaciones como la unión, la intersección,
etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para
orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor
para explicar la Teoría de Conjuntos.
Pues
bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas
de Veen.
Diagrama de la intersección de dos conjuntos.
|
En teoría la intersección de dos conjuntos
podemos definirla como la parte común que tienen dos conjuntos, si es que
existe(Ejemplo de inexistencia: la intersección de los números pares con los
impares) . Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha
situación.
|
|
La intersección de los
conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que
comparte el conjunto A con el B es la parte azul.
En matemáticas la intersección
se representa A∩B.
|
Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún
elemento común)
En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen
ninguna parte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío y se
representa: Ø.
|
|
Diagrama de la unión
de dos conjuntos.
|
En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como
una “suma” de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a
continuación representa la situación descrita anteriormente.
|
|
La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB.
Diagrama del complementario de un
conjunto.
|
En teoría el
complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y
se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se
entiende mejor con el siguiente diagrama.El conjunto U es el universal(parte
amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del
dibujo. El complementario de un conjunto se representa Ac.
|
|
Diagrama de la diferencia de conjuntos.
|
La diferencia
B - A es la parte de B que no está en A. La diferencia de conjuntos en
matemáticas se expresa B\A, para este caso.
|
|
|
Diagrama
de la inclusión de conjuntos. En
el diagrama se puede observar como el conjunto B esta contenido (o incluido)
en el conjunto A. Esto matemáticamente se expresa BÌA.
|
|
Con estos diagramas se pueden
representar la gran mayoría de las operaciones con conjuntos. Pero, las aquí
expuestas son las fundamentales a partir de ellas se obtienen las demás.
Ramón,
J (27 de mayo 2012). Probabilidad y Estadística. [Blog].Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/06/22-probabilidad-de-eventos-definicion.html
Probabilidad
con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.
*Axiomas**
Los axiomas
de probabilidad son las condiciones mínimas
que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de
sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados
por Kolmogórov en 1933.
Los axiomas de la formulación moderna de
la teoría de la probabilidad constituyen una base para
deducir a partir de ellas un amplio
número de resultados.
La letra P se utiliza para
designar la probabilidad de un evento, siendo P(A) la probabilidad
de
ocurrencia de un evento A en un
experimento.
AXIOMA 1
Si A es un evento de S, entonces la
probabilidad del evento A es:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Como no podemos obtener menos de cero
éxitos ni más de n éxitos en n experimentos, la
probabilidad de cualquier evento A, se
representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1.
AXIOMA 2
Si dos eventos son mutuamente
excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la
probabilidad de obtener A más la
probabilidad de obtener B.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Excluirse mutuamente quiere decir que
A y B no pueden ocurrir simultáneamente en el mismo
experimento. Así, la probabilidad de
obtener águila o sol en la misma tirada de una moneda será
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 = 1.
En general podemos decir que la suma de
las probabilidades de todos los posibles eventos
mutuamente excluyentes es igual a 1:
P(A1)
+ P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
AXIOMA
3
Si A es un evento cualquiera de un
experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:
P(A’) = 1 - P(A)
Es decir, la probabilidad de que el
evento A no ocurra, es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra.
*TEOREMAS**
|
|
TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.
|
p(f)=0
DEMOSTRACIÓN:
Si sumamos
a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente
excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD
TEOREMA 2. La
probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)=
1 – p(A)
|
|
DEMOSTRACIÓN:
Si el espacio
muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AÈAc,
por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que
p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD
TEOREMA 3. Si un
evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).
 |
|
|
|
DEMOSTRACIÓN:
Si separamos el
evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por
tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces
se cumple que p(A)£p(B). LQQD
TEOREMA 4. La p(
A \ B )= p(A) – p(AÇB)
|
|
DEMOSTRACIÓN: Si
A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede
separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \
B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) –
p(AÇB). LQQD
TEOREMA 5. Para
dos eventos A y B, p (AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).
|
|
DEMOSTRACIÓN:
Si AÈB = (A \
B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo
que p(A È B) = p(A \ B) + p (B) y del teorema anterior tomamos que
p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) –
p(AÇB). LQQD
COROLARIO:
|
|
Para tres
eventos A, B y C, p (AÈBÈC) = p(A) + p(B) + p(C) – p(AÇB) – p(AÇC) – (BÇC) +
p(AÇBÇC).
|
|
Ramón, J (4 de
junio 2012). Probabilidad y Estadística. [Blog].Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/06/23-probabilidad-con-tecnicas-de-conteo.html
Gálvez,
J (30 octubre 2015). Probabilidad y Estadística. [Blog]. Recuperado de: http://joseluisgalvez3a.blogspot.mx/2015/10/23-probabilidad-con-tecnicas-de-conteo.html
Probabilidad
condicional: Dependiente, Independiente.
Probabilidad condicional
1. Según (Murray R., Larry J.
2009)
“Si E1 y E2 son dos eventos, la probabilidad
de que ocurra E2, dado que E1 ha ocurrido, se denota Pr{E2|E1} o Pr{E2 dado E1} y se conoce
como la probabilidad condicional de E2 dado que E1 ha ocurrido.
Si la ocurrencia o no ocurrencia de E1 no afecta la probabilidad de
ocurrencia de E2, entonces Pr {E2|E} = Pr{E2} y se dice que E1 y E2
son eventos independientes, de lo contrario se dice que son eventos
dependientes. Si se denota con E1E2
el evento de que “tanto E1 como E2 ocurran”, evento al que suele
llamarse evento compuesto, entonces Pr{E1E2} _ Pr{E1} Pr{E2_E1}
(1)
En particular, Pr{E1E2} _ Pr{E1} Pr{E2}
para eventos independientes (2)
Para tres eventos E1, E2 y E3, tenemos
Pr{E1E2E3} _ Pr{E1} Pr{E2_E1} Pr{E3_E1E2}
(3) Es decir, la probabilidad de que ocurra E1, E2 y E3
es igual a (la probabilidad de E1) × (la
probabilidad de E2 dado que E1 ha ocurrido) × (la probabilidad de E3 dado que E1 y E2
han ocurrido). En particular, Pr{E1E2E3} _ Pr{E1}
Pr{E2} Pr{E3} para eventos independientes (4) En general,
si E1, E2, E3, . . . , En son n eventos
independientes que tienen probabilidades p1, p2, p3, . . .
, pn, entonces la probabilidad de que ocurra E1 y E2 y E3
y . . . En es p1p2p3 . . . pn. (pág. 140).
(Murray R. S., Larry J. S. 2009).
“ESTADÍSTICA”. (4° ed.). México: McGraw-Hill/INTERAMERICANA.
Probabilidad condicional
1.
De acuerdo a (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS,
SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).
“La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se
sabe que ya ocurrio algún evento A se llama probabilidad condicional y
se denota con P(B|A). El simbolo P(B|A)
por lo general se lee como “la probabilidad de que ocurra B, dado que
ocurrio A”, o simplemente,
“la probabilidad de B, dado A” .(pág. 62).
Definición
“La probabilidad condicional de B, dado A, que
se denota con P(B|A), se define como P (B |A)
= P (A
∩B ) P (A),
siempre que P(A) >
0” (pág. 63).
(RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H.
MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).”Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias”. (9 ed.). México :PEARSON EDUCACIÓN
Definición de independiente
1.
(RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y
KEYING YE., 2012)Señalan
que:
“Dos eventos A y B son independientes si y solo
si
P(B|A)
= P(B)
o P(A|B) = P(A),
si se asume la existencia de probabilidad condicional. De
otra forma, A y B son dependientes.” (pág.65)
“Se dice que dos eventos A y B son independientes
si se cumple cualquiera de los siguientes
casos:
P(A
B) = P(A),
P(B A)
= P(B),
P(A ∩B)
= P(A)P(B).
De otro modo, se dice que los eventos son dependientes.”
(pág. 53).
Ejemplos
del uso o aplicación
1. De acuerdo a
( Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer ,
2010)
“Considere los siguientes eventos en el tiro de un solo dado:
A:
observar un número impar.
B:
observar un número par.
C:
observar un 1 o 2.
a ¿A
y B son
eventos independientes?
b ¿A
y C son
eventos independientes?
Solución a Para decidir si A y B
son independientes, debemos ver si
satisfacen las condiciones de
En este ejemplo, P(A) =
1/2, P(B) = 1/2
y P(C) = 1/3.
Como A ∩
B =
∅, P (A_B) = 0
y es evidente que P(A_B) ≠ P(A). Los eventos A y
B son dependientes.
b ¿A
y C son
independientes? Observe que P(A_C) = 1/2
y, como antes, P(A)
= 1/2. Por
tanto, P(A_C) = P(A) y A
y C son
independientes” (pág.54).
2. Según (Murray R., Larry J. 2009)
“Supóngase
que una caja contiene 3 pelotas blancas y 2 pelotas negras. Sea E1 el
evento “la primera pelota que se saca es negra” y E2 el evento “la
segunda pelota que se saca es negra”, donde las pelotas no se vuelvan a colocar
en la caja una vez sacadas. Aquí E1 y E2 son eventos
dependientes.
La probabilidad de que la primera pelota que se extraiga sea
negra es Pr {E1}= 2/(3 +2) = 2/5. La probabilidad de que la segunda
pelota que se extraiga sea negra, dado que la primera pelota que se extrajo fue
negra, es Pr {E2|E1} = 1/(3 +1) _ 1/4. Por lo tanto, la
probabilidad de que las dos pelotas que se extraigan sean negras es
Pr {E1E2} = Pr {E1} Pr {E2|E1}
=2/5*1/4=1/10||” (pág. 141).
1. (Jay devoré, 2008)señala que:
“En el experimento del lanzamiento de un dado de la página 62
señalamos que P(B|A) =
2/5, mientras que P (B) = 1/3. Es decir, P (B|A)
≠ P(B),
lo cual indica que B depende de
A.
Consideremos ahora un experimento en el que se sacan 2 cartas, una después de
la
Otra, de una baraja ordinaria, con reemplazo. Los eventos se
definen como
A: la
primera carta es un as,
B:
la segunda carta es una espada.
Como la primera carta se reemplaza, nuestro espacio maestral
para la primera y segunda
Cartas consta de 52 cartas, que contienen 4 ases y 13
espadas. Entonces,
P (B |A) =1352=14y P (B)
=1352=14
Es decir, P (B|A) = P (B). Cuando esto es cierto,
se dice que los eventos A y B son
independientes.”(pág. 77).
Gálvez,
J (30 de octubre 2015). Probabilidad y Estadística. [Blog]. Recuperado de: http://joseluisgalvez3a.blogspot.mx/2015/10/24-probabilidad-condicional-dependiente.html
Valentín
silva. (2012). probabilidad condicional e independiente. 18 octubre 2012, de
SlideShare Sitio web: https://es.slideshare.net/Erebo08/probabilidad-condicional-eindependiente-14792659
Ley multiplicativa
Al multiplicar la formula P(B/A) =P( A Ç B)/ P(A) por P( A);
obtenemos la siguiente regla multiplicativa, esta es importante por que nos
permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.
Teorema: si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B,
entonces P( A Ç B)= P( A) P(B/A). así la probabilidad de que ocurran A y B es
igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que
ocurra B, dado que ocurre A.
Ø Si los eventos A y B son dependientes:
Ø Si los eventos A y B son independientes:
Ejemplo 1: Se
selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que
98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de
manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar
el segundo artículo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que
ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo,
calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.
A: El primer artículo está en buen
estado.
B: El segundo artículo está en
buen estado.
b) Si la muestra se toma “sin
reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el
segundo entonces:
Gálvez,
J (30 de octubre 2015). Probabilidad y Estadística. [Blog]. Recuperado de: http://joseluisgalvez3a.blogspot.mx/2015/10/25-ley-multiplicativa.html
Ramón, J (7 de
junio 2012). Probabilidad y Estadística. [Blog].Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/06/25-ley-multiplicativa.html
Eventos
independientes: Regla de Bayes.
Sea d un espacio muestral que está formado por los eventos A1,
A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,
d = A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn
Luego si ocurre un evento B definido en d, observamos que;
B = dÇB = (A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB =
(A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)
Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente
excluyentes, por lo que
p(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB)
+......+ p(AnÇB)
y como la p(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai) , o sea que la probabilidad
de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la
multiplicación para probabilidad condicional, luego;
p(B) = p(A1)p(B½A1) + p(A2)p(B½A2) +
p(A3)p(B½A3) + p(An)p(B½An)
Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento
Ai dado que B ya ocurrió, entonces;
La expresión
anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad
condicional.
Ejemplos:
1. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un
43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha
detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es
defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en
la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso,
¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?
Solución: Para resolver este problema nos ayudaremos con un
diagrama de árbol;
. a. Definiremos los eventos;
D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso
(evento que condiciona)
A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina
A
B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina
B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina
C
P(B½D) = p(BÇD)/p(D) =
p(B)p(D½B)/p(A)p(D½A) + p(B)p(D½B) + p(C)p(D½C)
P(B½D) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 +
0.31*0.016) = 0.0052/0.04456
=0.116697
b. ND = evento de que el producto seleccionado no sea
defectuoso (evento que condiciona)
A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina
A
B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina
B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C
P(C½ND)=p(CÇND)/p(ND)=p(C)p(ND½C)/p(A)p(ND½A)
+ p(B)p(ND½B) + p(C)p(ND½C) = 0.31*0.984/(0.43*0.92 + 0.26*0.98 +
0.31*0.984) = 0.30504/0.95544
=0.31927
Ramón,
J (7 de junio 2012). Probabilidad y Estadística. [Blog]. Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/06/26-eventos-independientes-regla-de.html
Galvez,
J (30 de octubre 2015). Probabilidad y Estadistica. [Blog]. Recuperado de:
http://joseluisgalvez3a.blogspot.mx/2015/10/26-eventos-independientes-regla-de-bayes.html
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